Die Funktionsableitung ist eines der grundlegenden Konzepte der mathematischen Analyse und spielt in vielen Bereichen von Wissenschaft und Technologie eine wichtige Rolle. Unabhängig davon, ob Sie in Physik, Wirtschaft oder Programmierung tätig sind, kann das Verständnis einer abgeleiteten Funktion die Lösung vieler Aufgaben erheblich vereinfachen.
In diesem Artikel erfahren Sie, wie Sie eine abgeleitete Funktion mithilfe einer Tabelle finden. Die Tabelle der abgeleiteten Funktionen ist ein praktisches Werkzeug, um abgeleitete Funktionen verschiedener Funktionen zu finden, ohne komplexe Differenzierungsmethoden verwenden zu müssen.
Bevor wir uns mit konkreten Beispielen befassen, erinnern wir uns an einige grundlegende Differenzierungsregeln. Die Fähigkeit, diese Regeln anzuwenden, wird uns helfen, die abgeleiteten Funktionen in der Tabelle zu finden.
Definition einer Ableitung
Sie können eine abgeleitete Funktion definieren, indem Sie die Grenze für das Inkrementverhältnis zwischen Funktion und Inkrement des Arguments berechnen:
Hier ist $f'(x)$ die Ableitung der Funktion $f(x)$ am Punkt $x$. Wenn eine Grenze existiert, wird die Funktion als differenzierbar bezeichnet.
Die Ableitung einer Funktion kann an jedem Punkt positiv, negativ oder Null sein. Das abgeleitete Vorzeichen gibt die aufsteigende oder absteigende Richtung einer Funktion an einem bestimmten Punkt an. Wenn die Ableitung positiv ist, nimmt die Funktion zu; wenn sie negativ ist, nimmt sie ab. Ein Wert der Ableitung von Null gibt das Extremum (Maximum oder Minimum) der Funktion an.
Wenn die Funktion glatt ist, dh bei all ihrem Mangel differenzierbar ist, kann die Funktionsableitung durch einen Differenzierungsalgorithmus gefunden werden, der die Regeln für die Differenzierung elementarer Funktionen und die Regeln für die Differenzierung komplexer Funktionen (mit einer Kettenregel usw.) enthält.
Sie können verschiedene Methoden verwenden, um eine abgeleitete Funktion in einer Tabelle zu finden, einschließlich der Definitionsdifferenzierung, der Differenzierungsregeln für Elementarfunktionen und numerischen Methoden (z. B. die Methode der endlichen Differenzen).
Regeln zum Finden einer Ableitung:
Es gibt bestimmte Regeln, die es ermöglichen, den Differenzierungsprozess zu vereinfachen, um eine abgeleitete Funktion zu finden. Hier sind die Grundregeln, um eine Ableitung zu finden:
- Konstantenregel: Die Ableitung einer Konstante ist Null. Wenn die Funktion f(x) = C ist, wobei C eine Konstante ist, dann ist ihre Ableitung f'(x) = 0.
- Die Regel der Potenzfunktion: die Ableitung einer Potenzfunktion ist gleich dem Produkt des Gradkennzeichens mit dem Koeffizienten der ursprünglichen Funktion multipliziert mit einer Funktion mit reduziertem Grad. Wenn die Funktion f(x) = x^n ist, dann ist ihre Ableitung f'(x) = n*x^(n-1).
- Summenregel: Die Ableitung der Summe zweier Funktionen entspricht der Summe ihrer Ableitungen. Wenn die Funktion f(x) = g(x) + h(x) ist, ist ihre Ableitung f'(x) = g'(x) + h'(x).
- Differenzregel: Die Ableitung der Differenz zweier Funktionen entspricht der Differenz ihrer Ableitungen. Wenn die Funktion f(x) = g(x) - h(x) ist, ist ihre Ableitung f'(x) = g'(x) - h'(x).
- Die Regel des Werks: das abgeleitete Produkt zweier Funktionen entspricht dem Produkt der abgeleiteten ersten Funktion in der zweiten Funktion sowie dem Produkt der ersten Funktion in der abgeleiteten zweiten Funktion. Wenn die Funktion f(x) = g(x)*h(x) ist, dann ist ihre Ableitung f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x).
- Privatregel: die Ableitung einer partiellen Zweifunktion entspricht der Differenz zwischen dem Produkt der Ableitung der ersten Funktion zur zweiten Funktion und dem Produkt der ersten Funktion zur Ableitung der zweiten Funktion, geteilt durch das Quadrat der zweiten Funktion. Wenn die Funktion f(x) = g(x)/h(x) ist, dann ist ihre Ableitung f'(x) = (g'(x)*h(x) - g(x)*h'(x))/(h(x))^2.
Mit diesen Regeln können Sie die Ableitungen komplexer Funktionen finden und verschiedene Probleme im Bereich der Differentialrechnung lösen.
Erstellen einer abgeleiteten Tabelle
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um die abgeleitete Funktionstabelle zu erstellen:
- Finden Sie die Ableitung einer Funktion anhand einer bekannten Formel oder wenden Sie die Differenzierungsregeln an.
- Schreiben Sie den resultierenden abgeleiteten Ausdruck in eine Tabellenzelle.
- Wiederholen Sie die ersten beiden Schritte für alle in der ursprünglichen Funktion vorhandenen Funktionen.
- Berechnen Sie abgeleitete Werte für bestimmte Variablenwerte und schreiben Sie sie in eine Tabelle.
Hier ist ein Beispiel für das Erstellen einer abgeleiteten Tabelle für eine Funktion f(x) = x^2 + 2x + 1.
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| f(x) | 2x + 2 |
Daher ist die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 + 2x + 1 gleich 2x + 2.
Die Konstruktion einer abgeleiteten Tabelle ermöglicht es Ihnen, Informationen über abgeleitete Funktionen zu organisieren und sie bei der Lösung verschiedener mathematischer Analyseprobleme zu verwenden.
Schritte zum Finden einer Ableitung in einer Tabelle
Führen Sie die folgenden Schritte aus, um eine abgeleitete Funktion in einer Tabelle zu finden:
- Bestimmen Sie, welche Funktion in der Tabelle angegeben ist. Normalerweise wird die Funktion in der ersten Spalte der Tabelle geschrieben.
- Untersuchen Sie die Funktionswerte in der Tabelle. Schreiben Sie sie in die zweite Spalte.
- Definieren Sie den Änderungsschritt des Funktionsarguments. Oft finden Sie diese Informationen im Tabellenkopf oder in den Kommentaren der Tabelle.
- Verwenden Sie die Funktionswerte und den Änderungsschritt, um die Funktionsdifferenzen zu berechnen. Die Differenzen können gefunden werden, indem jeder nachfolgende Wert einer Funktion vom vorherigen subtrahiert wird. Schreibe die Differenzen in die dritte Spalte.
- Berechnet eine Spalte mit den Werten des Funktionsarguments. Normalerweise sind die Argumentwerte gleich aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen multipliziert mit dem Änderungsschritt. Schreiben Sie die Argumentwerte in die vierte Spalte.
- Teilen Sie die Werte aus der dritten Spalte in die Werte aus der vierten Spalte auf. Die resultierenden Werte sind ungefähre Werte einer abgeleiteten Funktion.
Beispiel für das Finden einer abgeleiteten Funktion in einer Tabelle:
| Wert des Arguments | Funktionswert | Funktionsdifferenz | Wert der Ableitung |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | ||
| 3 | 8 | ||
| 4 | 12 | ||
| 5 | 18 |
Der Schritt zum Ändern des Arguments ist 1. Wir berechnen die Differenzen der Funktion:
| Wert des Arguments | Funktionswert | Funktionsdifferenz | Wert der Ableitung |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | ||
| 3 | 8 | 2 | |
| 4 | 12 | 4 | |
| 5 | 18 | 6 |
Die Argumentwerte sind gleich aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen, multipliziert mit dem Änderungsschritt (1):
| Wert des Arguments | Funktionswert | Funktionsdifferenz | Wert der Ableitung |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | ||
| 3 | 8 | 2 | |
| 4 | 12 | 4 | |
| 5 | 18 | 6 |
Wir teilen die Werte aus der dritten Spalte durch die Werte aus der vierten Spalte:
| Wert des Arguments | Funktionswert | Funktionsdifferenz | Wert der Ableitung |
|---|---|---|---|
| 2 | 6 | ||
| 3 | 8 | 2 | 2 |
| 4 | 12 | 4 | 4 |
| 5 | 18 | 6 | 6 |
Beispiele für das Finden einer Ableitung in einer Tabelle
Im Folgenden finden Sie einige Beispiele, die zeigen, wie Sie eine abgeleitete Funktion in einer Tabelle finden.
Beispiel 1:
Die Funktion f(x) = 3x^2 - 2x + 1 ist gegeben. Um die Ableitung dieser Funktion zu finden, verwenden wir die Differenzierungsregel für jedes Additiv einzeln. Die Ergebnisse werden in eine Tabelle geschrieben:
| f(x) | f'(x) |
|---|---|
| 3x^2 | 6x |
| -2x | -2 |
| 1 | 0 |
Beispiel 2:
Die Funktion g(x) = sin(x) + cos(x) ist gegeben. Um die Ableitung dieser Funktion zu finden, wenden wir auch die Differenzierungsregel für jedes Additionsfeld an:
| g(x) | g'(x) |
|---|---|
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | -sin(x) |
Beispiel 3:
Betrachten wir die Funktion h(x) = e^x + ln(x). Um die Ableitung dieser Funktion zu finden, wenden wir die entsprechenden Regeln an:
| h(x) | h'(x) |
|---|---|
| e^x | e^x |
| ln(x) | 1/x |
Die tabellarische Methode ermöglicht es Ihnen daher, die Ableitung einer Funktion zu finden, indem Sie die Differenzierungsregeln für jedes Element oder jede Funktion konsequent anwendet.
