Das physische Pendel ist eines der am meisten untersuchten Objekte in der Mechanik. Es besteht aus einer Punktmasse, die an einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden aufgehängt ist. Das Pendel kann unter dem Einfluss der Schwerkraft um seine Gleichgewichtsposition schwanken.
Der Ausdruck, der die Schwingungen eines Pendels beschreibt, wird als Gleichung seiner Schwingungen bezeichnet. Es ist möglich, diese Gleichung durch die Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes und des Hooks Gesetzes abzuleiten. Die Schwingungsbewegung eines Pendels kann durch die Gleichung eines harmonischen Oszillators dargestellt werden.
Basierend auf dem Hooks Gesetz und dem zweiten Newtonschen Gesetz kann eine Differentialgleichung erhalten werden, die die Schwingungsbewegung eines Pendels beschreibt:
m d2θ/dt2 = -mgLsinθ
wobei θ die Abweichung des Pendels von der Vertikalen ist, m ist die Masse des Pendels, g ist die Beschleunigung des freien Falles, L ist die Fadenlänge, t ist die Zeit.
Die resultierende Differentialgleichung kann analytisch oder numerisch gelöst werden. Die Lösung dieser Gleichung ermöglicht es Ihnen, die Abhängigkeit des Ablenkungswinkels des Pendels von der Zeit zu bestimmen und seine Schwingungsbewegung zu analysieren.
Wie man die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels ableitet
Die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels kann durch Anwenden einer Kraftmomentgleichung auf ein Pendel abgeleitet werden. Wenn die Schwingungsamplitude klein ist, kann die Gleichung in der folgenden Form geschrieben werden:
| Gleichung | |
|---|---|
| Schritt 1 | Στ = Iα |
| Schritt 2 | mgl sinθ = I(−ω²sinθ) |
| Schritt 3 | mgl sinθ = −Iω²sinθ |
| Schritt 4 | mgl = Iω² |
| Schritt 5 | mgl = mL²ω² |
| Schritt 6 | ω² = g/L |
| Schritt 7 | ω = √(g/L) |
| Schritt 8 | T = 2π/ω = 2π√(L/g) |
- m ist die Punktmasse am Ende des Pendels
- g - Beschleunigung des freien Falls
- L - die Länge des Pendels vom Aufhängepunkt bis zur Punktmasse
- ω - Winkelgeschwindigkeit des Pendels
- T - die Schwingungsperiode des Pendels
Die Schwingungsgleichung des physikalischen Pendels ermöglicht es daher, die Schwingungsdauer des Pendels in Abhängigkeit von seiner Länge und der Beschleunigung des freien Falles zu bestimmen. Diese wichtige Gleichung wird in einer Vielzahl von Bereichen verwendet, einschließlich Physik und Technik.
Das Konzept und die Eigenschaften eines physikalischen Pendels
Die Schwingungsperiode ist die Zeit, in der das Pendel eine vollständige Schwingung ausführt, dh es kehrt nach einer sehr schwankenden Bewegung in die Ausgangsposition zurück. Die Periode wird durch das Symbol T gekennzeichnet und in Sekunden gemessen.
Die Schwingungsamplitude ist die maximale Abweichung des Pendels von der Gleichgewichtsposition. Je größer die Amplitude ist, desto größer ist die Entfernung, die das Pendel während einer einzigen Schwingung durchläuft.
Die Formel, die die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels beschreibt, wird als mathematische Pendel-Gleichung oder harmonische Oszillatorgleichung bezeichnet. Es hat das Aussehen:
θ(t) = A * cos(ωt + φ),
θ(t) – Abweichung des Pendels von der Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t;
A - Schwingungsamplitude;
ω ist die Winkelfrequenz (ω = 2π / T), wobei T die Schwingungsperiode ist;
t - Zeit ab dem Beginn der Oszillation;
φ ist die Anfangsphase.
Wenn Sie also die Werte der Schwingungsamplitude, der Schwingungsdauer und der Anfangsphase kennen, können Sie die Schwingungsgleichung eines physischen Pendels ausdrücken und damit sein Verhalten und seine Eigenschaften analysieren.
Die Schwingungsgleichung des physikalischen Pendels in kleinen Amplituden
Die Gleichung der Schwingung eines physikalischen Pendels in kleinen Amplituden kann mit der folgenden Formel ausgedrückt werden:
Wobei ω die Winkelschwingungsfrequenz des Pendels im Bogenmaß pro Sekunde ist, g die Beschleunigung des freien Falles ist, l die Länge des Pendels ist.
Die Gleichung zeigt, dass die Schwingungsfrequenz des Pendels nur von der Beschleunigung des freien Falls und der Länge des Pendels abhängt. Je kleiner die Länge des Pendels ist, desto höher ist seine Schwingungsfrequenz.
In kleinen Amplituden, wenn die Abweichung des Pendels von der Gleichgewichtsposition klein ist, können seine Schwingungen durch eine sinusförmige Funktion beschrieben werden:
θ(t) = θ₀ * cos(ωt + φ)
Wobei θ(t) die Abweichung des Pendels zum Zeitpunkt t ist, θ₀ die maximale Abweichung des Pendels ist, ω die Winkelfrequenz ist, t ist die Zeit, φ ist die Anfangsphase der Schwingung.
Die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels in kleinen Amplituden hat eine Lösung, mit der Sie die Position des Pendels zu einem bestimmten Zeitpunkt und seine Geschwindigkeit bestimmen können.
Die Gleichung der Schwingung eines physikalischen Pendels in großen Amplituden
Die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels in großen Amplituden kann unter Verwendung einer Formel für die Schwingungsperiode des Pendels bestimmt werden. Im Allgemeinen wird die Schwingungsperiode des Pendels T durch die Gleichung bestimmt:
T = 2π√(l/g)
wobei l die Länge der Pendelaufhängung ist und g die Beschleunigung des freien Falls ist, ungefähr gleich 9,8 m / s2 auf der Erdoberfläche.
Diese Formel ist jedoch bei großen Schwingungsamplituden des Pendels nicht anwendbar. Bei großen Schwingungsamplituden muss die Gleichung der Schwingungsperiode mit der Formel für die Periode des mathematischen Pendels angepasst werden.
Mit der Formel für die Periode des mathematischen Pendels bezeichnen wir die Schwingungsamplitude des Pendels als θ. Dann kann die Gleichung der Schwingungsperiode des Pendels in großen Amplituden wie folgt geschrieben werden:
T = 2π√(l/g) * (1 + (1/16) * θ²)
wobei θ im Bogenmaß gemessen wird. Diese Formel ermöglicht es Ihnen, den Einfluss großer Amplituden auf die Schwingungsperiode des Pendels zu berücksichtigen.
Daher kann die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels in großen Amplituden mit einer angepassten Formel für die Schwingungsperiode des Pendels geschrieben werden.
Schwankungsperiode und zusätzliche Faktoren
Die Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels hängt von mehreren Faktoren ab, die seine Genauigkeit und Stabilität beeinflussen können.
Der Hauptparameter, der die Schwingungsperiode des Pendels bestimmt, ist seine Länge. Je länger das Pendel ist, desto länger dauert es für eine vollständige Schwingung. Die Länge des Pendels wird vom Aufhängepunkt bis zum Massenmittelpunkt gemessen. Formel zur Berechnung der Schwingungsdauer eines physikalischen Pendels:
T = 2π √(l / g)
wobei T die Schwingungsperiode ist, l die Länge des Pendels ist, g die Beschleunigung des freien Falls ist (ungefähr 9,8 m / s2).
Neben der Länge können andere Faktoren die Schwingungsdauer des Pendels beeinflussen:
Masse: Je größer die Masse des Pendels ist, desto langsamer wird es schwanken. Dies liegt an dem Trägheitsgesetz, nach dem Objekte größerer Masse länger benötigen, um ihren Bewegungszustand zu ändern.
Luftwiderstand: Unter realen Bedingungen können sich die Schwingungen des Pendels aufgrund des Luftwiderstands verlangsamen. Je größer die Querschnittsfläche oder Geschwindigkeit des Pendels ist, desto größer wird die Widerstandskraft und desto mehr Energie wird benötigt, um diese Kraft zu überwinden. Unter idealen Bedingungen, wenn der Luftwiderstand nicht berücksichtigt wird, schwankt das Pendel nach physikalischen Gesetzen.
Reiben: Die inneren Reibungen an der Stützstelle des Pendels können auch die Schwingungen des Pendels beeinflussen. Diese Reibung kann zu Energieverlusten führen, wodurch die Amplitude der Pendelschwingungen im Laufe der Zeit allmählich abnimmt.
Alle diese Faktoren beeinflussen die Schwingungsdauer des Pendels und müssen bei Experimenten und Messungen berücksichtigt werden.
Beispiele für Lösungen für die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels
Die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels ist eine Gleichung eines harmonischen Oszillators und kann gelöst werden, um den Zeitraum und die Frequenz der Schwingungen zu bestimmen.
Betrachten wir einige Beispiele für die Lösung der Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels:
- Beispiel 1: Nehmen wir an, wir haben ein physisches Pendel mit einer Aufhängungslänge von 0,5 Metern. Das Pendel weicht um einen Winkel von 30 Grad von der Gleichgewichtsposition ab. Um die Schwingungsperiode zu finden, können wir die folgende Formel verwenden: T = 2*pi*sqrt(l/g) Wobei T die Schwingungsperiode ist, l die Schwingungslänge des Pendels ist und g die Beschleunigung des freien Falls ist. Wenn wir die Werte in die Formel einfügen, erhalten wir: T = 2 * 3.14 * sqrt (0.5 / 9.8) ≈ 1.43 Sekunden
- Beispiel 2: Nehmen wir an, wir haben ein physikalisches Pendel mit einer Schwingungsperiode von T von 1,5 Sekunden. Um die Länge der Pendelaufhängung zu finden, können wir die folgende Formel verwenden: T = 2*pi*sqrt(l/g) Wobei T die Schwingungsperiode ist, l die Schwingungslänge des Pendels ist und g die Beschleunigung des freien Falls ist. Teilen wir beide Teile der Gleichung durch 2 * pi und quadrieren Sie: l = (T / (2 * pi)) ^ 2 * g Wenn wir die Werte in die Formel einfügen und die Beschleunigung des freien Falls ungefähr gleich 9.8 m / s ^ 2 verwenden, erhalten wir: l = (1.5/(2*3.14))^2 * 9.8 ≈ 0.59 meter
- Beispiel 3: Nehmen wir an, wir haben ein physisches Pendel mit einer Suspendierungslänge von 0,7 Metern und einer Schwingungsdauer von T von 2 Sekunden. Um die Beschleunigung des freien Falls zu finden, können wir die folgende Formel verwenden: T = 2*pi*sqrt(l/g) Teilen wir beide Teile der Gleichung durch 2*pi und quadrieren Sie: g = (T/ (2*pi))^2 * l Wenn wir die Werte durch die Formel ersetzen, erhalten wir: g = (2/(2*3.14))^2 * 0.7 ≈ 9.7 m/s^2
Wenn wir also die Schwingungsgleichung eines physikalischen Pendels lösen, können wir die Periode, die Frequenz, die Länge der Suspension oder die Beschleunigung des freien Falls bestimmen, abhängig von den bekannten Daten.
