Nicht konvexe Polygone sind Formen, bei denen innere Winkel größer als 180 Grad sein können. Im Gegensatz zu konvexen Polygonen kann ihre Form sehr komplex und visuell verwirrend sein. Es gibt jedoch eine einfache Möglichkeit, die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons basierend auf dem Prinzip der Aufteilung einer Form in Dreiecke zu finden.
Der erste Schritt bei der Bestimmung der Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons besteht darin, die Form in mehrere Dreiecke aufzuteilen. Zeichnen Sie dazu Diagonalen von einem Scheitelpunkt der Figur zum anderen und bilden Sie dadurch Dreiecke. Mit diesem Prinzip können Sie jedes nicht konvexe Polygon in eine Reihe von Dreiecken aufteilen, die einzeln leichter zu analysieren und zu messen sind.
Nachdem Sie die Form in Dreiecke unterteilt haben, betrachten Sie jedes Dreieck einzeln, um seinen inneren Winkel zu bestimmen. Wenn alle inneren Winkel bereits gemessen wurden, entspricht ihre Summe der Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons. Wenn die Winkel jedoch nicht gemessen werden, können sie mit dem Satz der Winkelsumme eines Dreiecks bestimmt werden, der besagt, dass die Summe der inneren Winkel eines Dreiecks 180 Grad beträgt.
Das Grundprinzip, die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons zu finden, besteht also darin, die Figur in Dreiecke zu unterteilen und anschließend ihre Winkel zu untersuchen. Wenden Sie dieses einfache Prinzip an, wenn Sie mit nicht konvexen Polygonen arbeiten, und Sie können die Summe ihrer Winkel leicht bestimmen.
Das Konzept eines nicht konvexen Polygons
Nicht konvexe Polygone werden häufig in der Natur gefunden und sind in verschiedenen Bereichen wie Geometrie, Computergrafik, Optimierung usw. von wesentlicher Bedeutung.
Im Gegensatz zu konvexe Polygone Wenn alle Winkel kleiner oder gleich 180 Grad sind, können nicht konvexe Polygone eine unendliche Anzahl von Winkeln haben, und ihre Summe kann nicht konstant sein. Um die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons zu finden, müssen alle seine inneren Winkel berücksichtigt werden.
Wert für das Finden der Summe der Winkel
Darüber hinaus kann die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons als Grundlage für andere Geometrieprobleme dienen. Wenn wir die Summe der Winkel kennen, können wir einzelne Winkel berechnen oder andere Eigenschaften eines Polygons finden, z. B. Fläche oder Seitenlängen.
Die Grundlage für das Finden der Summe der Winkel liegt im Prinzip, dass die Summe aller inneren Ecken eines Polygons 180 ° × (n-2) beträgt, wobei n die Anzahl der Eckpunkte des Polygons ist. Dieses Prinzip ermöglicht es uns, Berechnungen zu vereinfachen und ein genaues Ergebnis für jedes nicht konvexe Polygon zu erhalten.
Das Finden der Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons ist daher eine wichtige Aufgabe, die uns hilft, die Eigenschaften dieses geometrischen Objekts besser zu verstehen und zu untersuchen.
Grundprinzipien der Berechnung
Um die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons zu berechnen, müssen die folgenden Prinzipien angewendet werden:
- Teilen Sie das Polygon in Dreiecke auf. Um dies zu tun, zeichnen Sie Diagonalen, die die Eckpunkte des Polygons mit nicht konvexen Ecken verbinden.
- Berechnen Sie die Summe der Winkel jedes Dreiecks. Verwenden Sie dazu die Formel für die Summe der Winkel in einem Dreieck: 180 Grad.
- Summieren Sie alle Winkel von Dreiecken, um die Gesamtsumme der Winkel eines nicht konvexen Polygons zu erhalten.
Beachten Sie, dass Winkel, die durch die Diagonalen und Seiten eines Polygons gebildet werden, berechnet werden können, indem die Winkel der Dreiecke von 360 Grad subtrahiert werden.
Teilen eines Polygons in Dreiecke
Um die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons zu berechnen, müssen Sie es in Dreiecke aufteilen. Dies kann auf verschiedene Arten geschehen:
- Die Methode der diagonalen Aufteilung. Diese Methode basiert auf der Durchführung von Diagonalen innerhalb eines Polygons. Um ein Polygon in Dreiecke zu unterteilen, markieren Sie einen beliebigen Stützpunkt und verbinden ihn mit zwei anderen Stützpunkten, die nicht benachbart sind. Wiederholen Sie diesen Vorgang für alle Stützpunkte, bis alle Stützpunkte des Polygons diagonal miteinander verbunden sind. Auf diese Weise wird das Polygon in mehrere Dreiecke unterteilt.
- Triangulationsmethode. Diese Methode basiert auf der Trennung eines Polygons in Dreiecke, indem nicht konvexe Ecken gefunden und die Eckpunkte mit diesen Winkeln verbunden werden. Nicht konvexe Ecken können gefunden werden, indem man die inneren Ecken eines Polygons findet und deren Summe überprüft. Wenn ein nicht konvexer Winkel gefunden wird, können Sie diagonal von den entsprechenden Eckpunkten ziehen. Auf diese Weise wird das Polygon in Dreiecke unterteilt.
- Die Methode zum Schneiden von Kanten. Diese Methode basiert auf der Suche nach den Schnittpunkten der Kanten eines Polygons. Wenn sich in einem Polygon überlappende Kanten befinden, können Sie diagonal von den entsprechenden Eckpunkten der sich schneidenden Kanten ziehen. Auf diese Weise wird das Polygon in Dreiecke unterteilt.
Nachdem Sie ein Polygon in Dreiecke aufgeteilt haben, können Sie die Summe der Winkel jedes Dreiecks berechnen und sie addieren, um die Gesamtsumme der Winkel eines nicht konvexen Polygons zu erhalten.
Berechnung der Summe der Winkel eines Dreiecks
Es gibt drei Winkel in einem Dreieck, die als Winkel A, Winkel B und Winkel C bezeichnet werden. Die Summe dieser drei Winkel beträgt immer 180 Grad.
Wenn zwei Winkel eines Dreiecks bekannt sind, können Sie den dritten Winkel leicht finden, indem Sie die Summe von 180 Grad subtrahieren:
- Winkel A + Winkel B + Winkel C = 180 Grad
- Winkel A = 50 Grad
- Winkel B = 70 Grad
- Winkel C = 180 - 50 - 70 = 60 grad
Die Summe aller drei Winkel des Dreiecks würde also 180 Grad betragen, was das Hauptmerkmal dieser geometrischen Figur ist.
Addieren der Summe der Winkel von Dreiecken
Um die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons zu berechnen, müssen wir es in Dreiecke aufteilen. Jedes Dreieck hat eine Summe von Winkeln, die 180 Grad entspricht.
Zuerst wählen wir einen der Eckpunkte des Polygons aus und ziehen alle Diagonalen davon ab, wodurch das Polygon in Dreiecke zerlegt wird. Es kann jeder der Eckpunkte sein.
Dann berechnen wir die Summe der Winkel jedes Dreiecks mit der Formel für die Summe der Winkel im Dreieck: 180 Grad.
Danach addieren wir einfach alle im vorherigen Schritt erhaltenen Dreieckswinkelsummen und erhalten die Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons.
Es ist wichtig zu beachten, dass das Addieren der Summe der Winkel von Dreiecken das Grundprinzip für die Berechnung der Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons ist. Diese Methode kann unabhängig von der Anzahl der Scheitelpunkte und der Form des Polygons auf jeden Fall verwendet werden.
Beispiellösung
Stellen wir uns vor, wir haben ein nicht konvexes Polygon mit den Eckpunkten A, B, C, D, E, F. Wir müssen die Summe aller Winkel finden.
- Lassen Sie uns die Diagonalen des Polygons zeichnen, die die Eckpunkte verbinden, die nicht benachbart sind. In unserem Beispiel sind dies die Diagonalen AF und CE.
- Wir brechen das Polygon mit diesen Diagonalen in Dreiecke auf. In unserem Beispiel ergeben sich drei Dreiecke: ABC, AEF und CEF.
- Für jedes Dreieck finden wir die Summe seiner Winkel. Dies kann mit einer bekannten Formel erfolgen, die besagt: Die Summe der Winkel eines Dreiecks beträgt 180 Grad.
- Addieren wir die Summe der Winkel aller Dreiecke und erhalten die gewünschte Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons.
Zum Beispiel wäre für das Dreieck ABC die Summe seiner Winkel: Winkel A + Winkel B + Winkel C = 180 Grad.
In ähnlicher Weise wäre für ein Dreieck AEF die Summe seiner Winkel: Winkel A + Winkel E + Winkel F = 180 Grad.
Und schließlich wäre für das CEF-Dreieck die Summe seiner Winkel: Winkel C + Winkel E + Winkel F = 180 Grad.
Die Summe der Winkel eines nicht konvexen ABCDEF-Polygons wäre also gleich: (Winkel A + Winkel B + Winkel C) + (Winkel A + Winkel E + Winkel F) + (Winkel C + Winkel E + Winkel F) = 540 Grad.
Beschreibung des Beispiels
Um das Prinzip der Berechnung der Summe der Winkel eines nicht konvexen Polygons anschaulich zu erklären, betrachten wir ein Beispiel für ein ABCDE-Polygon:
ABCDE-Polygon:
Winkel A: Es ist bekannt, dass die Winkel zwischen AB und BC (Winkel A) und die Winkel zwischen BC und CD (Winkel B) jeweils 80 Grad betragen. Es ist auch bekannt, dass der Winkel von C 120 Grad beträgt.
Winkel B: Sobald wir wissen, dass die Winkel A und C 80 Grad bzw. 120 Grad betragen, können wir den Winkel B mit der Formel berechnen: winkel B = 360 grad - winkel A - winkel C = 360 grad - 80 grad - 120 grad = 160 grad.
Winkel D: Der Winkel D entspricht der Summe der Winkel B und C, da die Winkel im Polygon addiert werden: Winkel D = Winkel B + Winkel C = 160 Grad + 120 Grad = 280 Grad.
E-Winkel: Winkel E entspricht der Summe der Winkel D und Winkel A, da die Winkel im Polygon addiert werden: Winkel E = Winkel D + Winkel A = 280 Grad + 80 Grad = 360 Grad.
Die Summe der Winkel des ABCDE-Polygons beträgt also 360 Grad.
