Ein Trapez ist eine geometrische Figur, die zwei parallele Seiten und zwei nicht parallele Seiten aufweist, von denen eine kürzer ist als die andere. In einem gleichschenkligen Trapez sind die Basen gleich und die Seiten sind einander gleich. Ein wichtiger Parameter eines Trapezes ist seine Fläche, die angibt, wie viel Ebene es einnimmt.
Die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes erfolgt normalerweise unter Verwendung einer Höhe - einer Linie, die die Basen miteinander verbindet und senkrecht zu ihnen steht. Es ist jedoch manchmal unangenehm oder unmöglich, die Höhe zu verwenden, um die Fläche des Trapezes zu berechnen. In solchen Fällen können Sie eine Formel verwenden, die auf den Basenlängen und dem Winkel zwischen den Basen basiert.
Die Formel zur Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes ohne Verwendung der Höhe lautet wie folgt: S = ((a + b) / 2) * h, wo S - trapezbereich, a und b - Basenlängen, h - abstand zwischen den Basen. Diese Formel zeigt, dass es nicht notwendig ist, die Höhe zu kennen, um die Fläche eines Trapezes zu berechnen - es genügt, die Länge der Basen und den Abstand zwischen ihnen zu kennen.
Wenn Sie nun die Formel kennen, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes ohne Verwendung der Höhe zu berechnen, können Sie die Fläche einer gegebenen geometrischen Figur einfach und schnell berechnen. Dies kann in verschiedenen Situationen nützlich sein, z. B. bei der Lösung geometrischer Probleme oder beim Bau. Es ist wichtig sich daran zu erinnern, dass die Formel nur für gleichschenklige Trapezien funktioniert.
Definition eines gleichschenkligen Trapezes
Die Basen eines gleichschenkligen Trapezes liegen auf einer geraden Linie, der Symmetrieachse genannt. Die Hüften des Trapezes bilden sich in gleichen Winkeln mit einer Symmetrieachse.
Eine der Basen eines gleichschenkligen Trapezes kann größer (obere Basis) oder kleiner (untere Basis) sein, abhängig von der Platzierung der Seiten und der Form des Trapezes. Die Symmetrieachsen sind so angeordnet, dass sich ihr Schnittpunkt in der Mitte der unteren Basis befindet.
Gleichschenklige Trapezkörper haben eine Reihe interessanter Eigenschaften, einschließlich der Gleichheit der Basen und Winkel zwischen den Hüften sowie der Gleichheit benachbarter Winkel zwischen den Basen und der Symmetrieachse. Diese Eigenschaften vereinfachen die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes, ohne die Höhe zu verwenden.
Die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes
Lassen Sie die Basen in einem gleichschenkligen Trapez gleich lang sein a und b und die Seite ist gleich c. Einer der Ecken im Scheitelpunkt zwischen den Basen ist gleich α.
Finden wir die Höhe des Trapezes, indem wir ihn von der Spitze aus ziehen, die mit einer Länge durch die Basis verläuft a. Bezeichnen Sie die Höhe als h.
Da das Trapez gleichschenklig ist, sind die Winkel mit gegenüberliegenden Seiten gleich. Daher hat der andere Winkel im Scheitelpunkt die gleiche Größe und kann als bezeichnet werden α.
Aus einem Dreieck, das durch eine Höhe gebildet wird h, Schmalseite c und seine halbe Basis a/2. nach dem Satz des Pythagoras kann die Länge gefunden werden h:
h 2 = c 2 - (a/2) 2
h 2 = 4c 2 - a 2
Jetzt können wir die Fläche des Trapezes mit einer Formel ausdrücken: S = ((a + b) * h) / 2.
Ersetzen wir den gefundenen Wert h 2 und wir werden es bekommen:
S = ((a + b) * (√(4c 2 - a 2 ))) / 2
So haben wir eine Formel erhalten, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, ohne die Höhe zu verwenden.
Verwenden von Seiten zum Berechnen einer Fläche
Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes kann berechnet werden, indem man die Länge der Basen und Seiten kennt. Dazu können Sie die folgende Formel verwenden:
- Bestimmen Sie die Basenlängen des Trapezes - dies sind die Segmente, die die Eckpunkte des Trapezes an gegenüberliegenden Seiten verbinden.
- Finden Sie die Längen der Seiten des Trapezes - das sind die Segmente, die die Spitzen des Trapezes auf einer Seite verbinden.
- Falten Sie die Basenlängen und multiplizieren Sie die resultierende Summe mit der Hälfte der Trapezhöhe. Die Hälfte der Höhe kann gefunden werden, indem die Höhe durch 2 geteilt wird.
- Der resultierende Wert wird die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes sein.
Die Verwendung der Seiten, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, ist eine ziemlich einfache Methode, die keine Kenntnis der Höhe erfordert. Beachten Sie jedoch, dass es notwendig ist, die Werte der Basen und Seiten genau zu kennen, um diese Formel anzuwenden.
Beispiel für die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes
Um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, können Sie eine Formel verwenden, die keine Höhe erfordert.
Lassen Sie die Basen des Trapezes a und b lang sein und die Seiten sind gleich c. Dann kann die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes berechnet werden
durch die Formel: S = (a + b) * c / 2.
Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes. Lassen Sie die Basis a = 5 cm, B = 10 cm und die Seite c = 8 cm.
Ersetzen wir die Werte in die Formel: S = (5 + 10) * 8 / 2 = 15 * 8 / 2 = 120 / 2 = 60 cm2.
Somit ist die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes mit den Seiten a = 5 cm, b = 10 cm und c = 8 cm 60 cm2.
Wenn Sie die Formel kennen, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, ohne die Höhe zu verwenden, können Sie die damit verbundenen Probleme leicht lösen
mit gleichschenkligen Trapezkörpern.
Nachweis der Formel für das Quadrat eines gleichschenkligen Trapezes
Es gibt jedoch eine Möglichkeit, die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, ohne die Höhe zu verwenden. Lassen Sie uns es genauer betrachten.
Lassen Sie uns ein gleichschenkliges ABCD-Trapez haben, wobei AB und CD die Basen sind und BC und AD die Seiten sind.
Wir bezeichnen durch E den Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD. Da ABCD ein gleichschenkliges Trapez ist, sind EC und ED jeweils die Winkelbinder BCD und ADE. Der Punkt E ist also der Schnittpunkt der Bisektris, was bedeutet, dass AE = CE und BE = DE ist.
Verwenden wir die Eigenschaft des gleichschenkligen Trapezes, die besagt, dass die Basen des gleichschenkligen Trapezes gleich und kleiner als die Summe der Seiten sind.
Wir erhalten das folgende Verhältnis: AB = CD < BC + AD.
Beachten Sie, dass die beiden Dreiecke ABE und CDE gleich sind, da sie die Seiten AE = CE, BE = DE und den gemeinsamen Winkel am Scheitelpunkt E haben.
Die Flächen dieser Dreiecke sind also gleich: S(ABE) = S(CDE).
Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes ABCD kann als die Differenz zwischen den Flächen der Dreiecke ABC und CDA ausgedrückt werden: S (ABCD) = S (ABC) - S(CDA).
Aber die Fläche der Dreiecke ABC und CDA ist gleich der Hälfte des Grundprodukts für die Höhe: S(ABC) = (AB + BC) * h/ 2 und S(CDA) = (CD + AD) * h/2.
Ersetzen wir diese Werte in die Formel für die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes: S (ABCD) = (AB + BC) * h / 2 - (CD + AD) * h / 2.
Vereinfachen wir den Ausdruck und erhalten die endgültige Formel, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, ohne die Höhe zu verwenden: S(ABCD) = ((AB + BC) - (CD + AD)) * h/2 = (AB - CD) * h/2 = ((a + b) - (a + b)) * h/2 = (a + b)/2 * h.
Daher haben wir die Formel S = ((a+b)/2) * h erhalten, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, ohne die Höhe zu verwenden.
Der Fall, in dem die Basen und der Winkel bekannt sind
Die folgende Formel wird verwendet, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, wenn nur die Basen und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind:
Fläche = Basendifferenz × die Hälfte der Basensumme × der Sinus des Winkels zwischen den Basen
Diese Formel zeigt, dass Sie die Länge beider Basen und den Wert des Winkels zwischen ihnen kennen müssen, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu bestimmen.
Die Berechnung der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes unter Verwendung dieser Formel umfasst die folgenden Schritte:
- Messen Sie die Basenlängen des Trapezes.
- Messen Sie den Winkel zwischen den Basen.
- Wenden Sie eine Formel an, um die Fläche zu berechnen.
Wenn Sie also den Winkel zwischen den Basen und die Länge beider Basen kennen, können Sie die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes leicht berechnen, ohne die Höhe zu verwenden.
Beachten Sie, dass diese Formel nur für gleichschenklige Trapezkörper gilt, bei denen der Winkel zwischen den Basen in Grad gemessen wird.
Ein Fall, in dem Seiten und Winkel bekannt sind
Es ist möglich, eine Formel zu verwenden, die auf bekannten Seiten und Winkel basiert, um die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, ohne die Höhe zu verwenden. In diesem Fall sind die Längen der Seiten des Trapezes (a und b) und der Winkel α zwischen der Basis und der Seite bekannt.
Schritte zum Berechnen der Fläche eines gleichschenkligen Trapezes:
- Berechnen Sie die Höhe von h mit dem Kosinus-Theorem:
- h = √(a² - b²/4 - 2 * a * b/4 * cos(α))
- Berechnen Sie die Fläche S:
- S = (a + b) * h/2
Mit diesen Formeln können Sie die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes berechnen, wenn die Seitenlängen und der Winkel zwischen der Basis und der Seite bekannt sind. Dies kann bei der Lösung von Geometrieproblemen oder bei Berechnungen im Zusammenhang mit einer bestimmten Form nützlich sein.
Ein Fall, in dem Diagonalen und Winkel bekannt sind
Die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes kann auch berechnet werden, wenn die Diagonalen und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind.
Dazu können Sie die folgende Formel verwenden:
- S - trapezbereich
- d1 - große Diagonale
- d2 - kleine Diagonale
- der Winkel - winkel zwischen den Diagonalen
- sin(Winkel) - der Sinus des Winkels, der mit einer Wertetabelle oder einem Taschenrechner gefunden werden kann.
Die Verwendung dieser Formel ermöglicht es Ihnen, die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes zu berechnen, selbst wenn die Höhe nicht bekannt ist.
Wenn beispielsweise die große Diagonale 10 cm beträgt, die kleine Diagonale 6 cm beträgt und der Winkel zwischen ihnen 60 Grad beträgt, wird die Fläche des Trapezes sein:
S = (10 + 6)/2 * 10/2 * 6/2 * sin(60) = 8.66 cm2
Wenn Sie also die Diagonalen und den Winkel kennen, können Sie die Fläche eines gleichschenkligen Trapezes erhalten, ohne die Höhe zu verwenden.
