Abgeleitete Funktion – dies ist eines der grundlegenden Konzepte der mathematischen Analyse, mit der Sie die Änderungsrate einer Funktion bestimmen können. In diesem Artikel betrachten wir die Ableitung der Funktion y = cos(2x) und berechnen ihren Wert.
Die Funktion y = cos(2x) ist eine elementare trigonometrische Funktion, die von der Variablen x abhängt. Dabei bestimmt der Faktor 2 vor der Variablen x, dass sich die Funktion im Vergleich zur Funktion y = cos(x) mit doppelter Geschwindigkeit ändert.
Um die abgeleitete Funktion y = cos(2x) zu definieren, verwenden wir eine Regel zur Differenzierung komplexer Funktionen. Zuerst differenzieren wir die interne Funktion 2x und multiplizieren dann das Ergebnis mit der Ableitung der externen Funktion cos(u).
Ableitung der cos-Funktion
Sie können die allgemeine Differenzierungsformel für trigonometrische Funktionen verwenden, um die abgeleitete cosx-Funktion zu finden:
- Wenn f(x) = cosx ist, dann ist f'(x) = -sinx.
Daher ist die Ableitung der Funktion cosx gleich -sinx. Dies bedeutet, dass der Wert der Funktion cosx mit der Geschwindigkeit sinx abnimmt, wenn der Wert des Arguments x erhöht wird.
Die Ableitung der Funktion cosx kann verwendet werden, um das Verhalten einer Funktion an verschiedenen Punkten zu analysieren, Extrempunkte zu finden und andere mathematische Analyseprobleme zu lösen.
Finden der abgeleiteten Funktion y cos 2 x
Um die abgeleitete Funktion y cos 2 x zu finden, müssen Sie die Differenzierungsregel für die Überlagerung von Funktionen anwenden.
Wir haben die Funktion y = cos 2 x. Betrachten wir den Prozess, seine Ableitung zu finden:
- Wir verwenden die Differenzierungsregel der Sinusfunktion: d(sin u) / du = cos u.
- Wir ersetzen u = 2 x: d (sin 2 x) / dx = cos 2 x.
- Wir verwenden die Differenzierungsregel für die Überlagerung von Funktionen: d(f(g(x))) / dx = f'(g(x)) * g'(x).
- Wir wenden die Regel auf unsere Funktion an: d(cos 2 x) / dx = (-sin 2 x) * (d(2 x) / dx).
Wir vereinfachen den Ausdruck: d(cos 2 x) / dx = -2 sin 2 x.
Die Ableitung der Funktion y cos 2 x ist also -2 sin 2 x.
Die Formel der Ableitung einer komplexen Funktion
Lassen Sie uns eine Funktion haben f(x), die eine Komposition von zwei Funktionen ist u(v) und v(x): f(x) = u(v(x)). Um die Ableitung dieser Funktion zu finden f'(x). Sie müssen die Formel einer komplexen abgeleiteten Funktion verwenden.
Die Formel der Ableitung einer komplexen Funktion ist wie folgt:
- Lass y = f(u).
- Dann die Ableitung dy/du diese Funktion entspricht dem Produkt einer abgeleiteten Funktion y = f(u) auf u abgeleitete Funktion u(x) auf x. Das heißt dy/dx = dy/du * du/dx.
Anwenden dieser Formel auf eine Funktion y = cos(2x), erhalten wir:
- Lass f(u) = cos(u) und u(x) = 2x.
- Dann die Ableitung der Funktion y = cos(2x) auf u entspricht einer abgeleiteten Funktion f(u) = cos(u) auf u, das heißt dy/du = -sin(u).
- Auch eine Ableitung der Funktion u(x) = 2x auf x ist gleich 2.
- Mit der Formel einer abgeleiteten komplexen Funktion erhalten wir: dy/dx = -sin(u) * 2 = -2sin(2x).
Daher ist die Ableitung der Funktion y = cos(2x) gleich -2sin(2x).
Ableitung der Funktion y = cos(2x)
Um die abgeleitete Funktion y = cos(2x) zu finden, können wir die Differenzierungsregel der Superpositionsfunktion verwenden.
Eine Regel zur Differenzierung der Superpositionsfunktion ist anwendbar, die besagt, dass die Ableitung des Sinus oder Kosinus der Superpositionsfunktion dem Produkt einer abgeleiteten externen Funktion zu einer Ableitung der inneren Funktion entspricht.
In diesem Fall ist die interne Funktion 2x und die externe Funktion cos(x).
Die Ableitung der internen Funktion 2x ist 2, da die Ableitung der Konstanten ein Vielfaches von 0 ist und 1 ist.
Die Ableitung der externen Funktion cos(x) ist gleich -sin(x), da die Ableitung des Kosinus minus dem Sinus entspricht.
Wenn wir also die Differenzierungsregel der Superposition anwenden, erhalten wir, dass die Ableitung der Funktion y = cos (2x) dem Produkt der abgeleiteten äußeren Funktion zur Ableitung der inneren Funktion entspricht:
dy/dx = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x)
Die Ableitung der Funktion y = cos(2x) ist also -2sin(2x).
Beispiel für die Berechnung der Ableitung y cos 2 x
Um die abgeleitete Funktion y = cos(2x) zu berechnen, verwenden wir die Differenzierungsregel der zusammengesetzten Funktion. Die Regel ist, dass die Ableitung der Funktionszusammensetzung dem Produkt einer abgeleiteten äußeren Funktion zu einer Ableitung der inneren Funktion entspricht.
Also haben wir eine Funktion y = cos(2x), wobei die äußere Funktion cos(u) ist und die innere Funktion 2x ist.
Finden wir die Ableitung der äußeren Funktion cos(u). Nach der abgeleiteten Formel ist die Ableitung von cos(u) gleich -sin(u).
Jetzt finden wir die Ableitung der inneren Funktion 2x. Durch die Ableitungsformel ist die Ableitung 2x 2.
Jetzt gilt die Differenzierungsregel für die zusammengesetzte Funktion: Die Ableitung y = cos(2x) entspricht dem Produkt der Ableitung der äußeren Funktion (-sin(u)) zur Ableitung der inneren Funktion (2).
Wir erhalten, dass die Ableitung von y = cos(2x) gleich ist (-sin(2x)) * 2 oder vereinfacht -2sin(2x).
Die Ableitung der Funktion y = cos(2x) ist also -2sin(2x).
