Gleichungen und ihre Lösungen sind eines der Hauptthemen in der Mathematik. Manchmal können Gleichungen unendlich viele Lösungen haben, manchmal keine. Es ist sehr interessant zu lernen, wie viele Lösungen jede Gleichung haben kann.
In diesem Artikel werden wir uns die Gleichung 2x 2 + 1 = 2x ansehen und versuchen zu bestimmen, wie viele Lösungen sie hat. Dazu verwenden wir die Algebramethoden und lösen die Gleichung, um herauszufinden, welche x-Werte der gegebenen Gleichung entsprechen.
Wir werden uns auch daran erinnern, was eine quadratische Gleichung ist und wie man sie löst. Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei a, b und c bekannte Zahlen sind, wobei a ≠ 0. Wenn wir eine quadratische Gleichung lösen, verwenden wir eine Wurzelformel, mit der Sie die spezifischen x-Werte finden können, die der Gleichung entsprechen.
Wie viele Lösungen hat die Gleichung 2x2 + 1 = 2x?
Um die Anzahl der Lösungen für diese Gleichung zu bestimmen, müssen Sie sie in kanonischer Form präsentieren:
- Übertragen wir alle Zusammenstellungen auf die linke Seite der Gleichung, um ein quadratisches Dreiglied zu erhalten, das gleich Null ist: 2x2 - 2x + 1 = 0
- Betrachten wir nun die Diskriminanz dieser Gleichung: Diskriminanz = b2 - 4ac = (-2)2 - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4
- Da die Diskriminante kleiner als Null ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln.
Also, bei der Gleichung 2x² + 1 = 2x es gibt keine gültigen Wurzeln, mit anderen Worten, es hat keine Lösungen.
Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung
Die Gleichung wurde als "quadratisch" bezeichnet, da ihr höchstwertiger Term das Quadrat einer Variablen ist (x 2 ). Koeffizienten b und c kann beliebige reelle Zahlen sein.
Sie können die Diskriminanzformel verwenden, um Lösungen für eine quadratische Gleichung zu finden:
Wenn D > 0, dann hat die Gleichung zwei verschiedene gültige Wurzeln.
Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine einzige gültige Wurzel.
Quadratische Gleichungen sind eines der grundlegenden Lernobjekte in der Algebra und finden Anwendung in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.
Vergleich der linken und rechten Seite der Gleichung
Um diese Gleichung zu lösen, müssen Sie die linken und rechten Teile der Gleichung vergleichen und die Werte der Variablen x finden, bei denen sie einander gleich sind.
Die Gleichung hat die Form: 2x2 + 1 = 2x.
Lassen Sie uns zunächst alles auf die linke Seite der Gleichung bringen:
Jetzt geben wir ähnliche Mitglieder an:
Diese Art der quadratischen Gleichung wird als kanonische Form bezeichnet.
Um diese Gleichung zu lösen, können Sie ein quadratisches Dreiglied, eine Diskriminanzformel oder eine Methode zur Vervollständigung eines quadratischen Dreigliedrigen verwenden.
Bei der Lösung dieser Gleichung wird festgestellt, dass der Diskriminante D = b2 - 4ac Null ist.
Dies bedeutet, dass die Gleichung zwei identische Wurzeln hat. Daher ist die Anzahl der Lösungen für die Gleichung 2x2 + 1 = 2x gleich 2.
Eine Gleichung in eine kanonische Form zerlegen
Die Gleichung in kanonischer Form hat die Form:
ax 2 + bx + c = 0
wo a, b und c - Koeffizienten der Gleichung.
Um die Gleichung 2x 2 + 1 = 2x in eine kanonische Form zu zerlegen, müssen alle Mitglieder auf eine Seite der Gleichung verschoben werden:
2x 2 - 2x + 1 = 0
Jetzt ist die Gleichung in kanonischer Form und es ist möglich, weitere mathematische Operationen durchzuführen, zum Beispiel, um sie mit Diskriminanz oder anderen Methoden zu lösen.
So bringen Sie eine Gleichung in eine quadratische Ansicht
Um es in eine quadratische Form zu bringen, müssen Sie alle zusammengesetzten Elemente in einen Teil der Gleichung verschieben, um auf der rechten Seite eine Null zu erhalten:
Dann vereinfachen wir:
Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung, wobei der Grad der Variablen x 2 ist. Diese Gleichung kann mit standardmäßigen Methoden zur Lösung quadratischer Gleichungen gelöst werden, z. B. mit einer Diskriminierungsformel oder mit Faktorisierungsmethoden.
Diskriminanz und ihre Bedeutung zur Bestimmung der Anzahl der Entscheidungen
Der Wert des Diskriminanten ermöglicht die Klassifizierung von Gleichungslösungen:
- Wenn D > 0 ist, hat die Gleichung zwei verschiedene gültige Wurzeln. Dies bedeutet, dass das Diagramm der Parabel (eine Gleichung der Form y = ax2 + bx + c) die X-Achse an zwei Punkten schneidet.
- Wenn D = 0 ist, hat die Gleichung eine einzige gültige Wurzel. Dies bedeutet, dass das Diagramm der Parabel die X-Achse an einem Punkt berührt.
- Wenn D < 0 ist, hat die Gleichung keine gültigen Wurzeln. Dies bedeutet, dass das Parabeldiagramm die X-Achse nicht schneidet.
Kehren wir zur Gleichung 2x2 + 1 = 2x zurück. Um die Anzahl ihrer Lösungen zu bestimmen, müssen Sie den Wert des Diskriminanten berechnen:
D = (-2)² - 4 * 2 * 1 = 4 - 8 = -4
Lösen einer Gleichung mit einer Quadratwurzelformel
Wir werden alle Bestandteile auf die linke Seite der Gleichung übertragen, wir erhalten: 2x2 - 2x + 1 = 0.
Wenn wir nun mit der allgemeinen Ansicht der Gleichung vergleichen, finden wir, dass a = 2, b = -2 und c = 1 sind.
Im nächsten Schritt wenden wir die Formel der Quadratwurzel an:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Indem wir die Werte der Koeffizienten in die Formel einfügen, erhalten wir:
x = (-(-2) ± √((-2)² - 4 · 2 · 1)) / (2 · 2)
Das Extrahieren einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl ist im Rahmen der reellen Arithmetik nicht möglich, daher erhalten wir komplexe Wurzeln:
Daher hat diese Gleichung zwei komplexe Wurzeln: x₁ = (2 + 2i) / 4 und x₂ = (2 - 2i) / 4.
Überprüft die Wurzeln auf die Übereinstimmung mit der ursprünglichen Gleichung.
Um die Anzahl der Lösungen für die Gleichung 2x2 + 1 = 2x zu bestimmen, müssen Sie die gefundenen Wurzeln auf ihre Übereinstimmung mit der ursprünglichen Gleichung überprüfen. Die ursprüngliche Gleichung 2x2 + 1 = 2x hat die Form einer Parabel, wobei der Koeffizient bei x2 2 ist, der Koeffizient bei x -2 ist und der freie Term 1 ist.
Wenn Sie den gefundenen Wert x in die ursprüngliche Gleichung anstelle von x setzen und eine Gleichheit erhalten, bedeutet dies, dass die gefundene Wurzel die Lösung der ursprünglichen Gleichung ist. Wenn Sie den gefundenen x-Wert nicht in die ursprüngliche Gleichung einfügen oder nach der Ersetzung eine Ungleichheit erhalten, bedeutet dies, dass diese Wurzel keine Lösung für die ursprüngliche Gleichung darstellt.
Wenn Sie die gefundenen Wurzeln anstelle von x in die Gleichung 2x2 + 1 = 2x einfügen, können Sie ihre Übereinstimmung überprüfen. Wenn beide Werte der ersetzten Wurzeln gleich sind, hat die ursprüngliche Gleichung zwei Lösungen. Wenn nur ein Wert eine Gleichheit ergibt, hat die Gleichung eine Lösung. Wenn beide Werte keine Gleichheit ergeben, hat die Gleichung keine Lösungen.
