Ein konvexes Polygon ist eine Figur, deren Winkel kleiner als 180 Grad sind und sich alle Seiten nicht schneiden. Eine der wichtigsten Eigenschaften einer solchen Figur ist die Anzahl der Diagonalen, die von einem ihrer Eckpunkte gezogen werden können. In diesem Artikel werden wir uns die verschiedenen Möglichkeiten ansehen, die Anzahl der Diagonalen zu zählen und uns auf jeden einzelnen von ihnen im Detail zu konzentrieren.
Lassen Sie uns zunächst definieren, was eine Diagonale ist. Die Diagonale eines konvexen Polygons ist eine Linie, die zwei seiner Eckpunkte verbindet, die nicht benachbart sind. Also hat jeder Scheitelpunkt in einem konvexen Polygon die Möglichkeit, sich mit jedem anderen Scheitelpunkt außer dem benachbarten zu verbinden. Aber wie viele Diagonalen können von jedem Scheitelpunkt aus gezogen werden? Darüber werden wir weiter reden.
Lassen Sie uns ein konvexes Polygon mit n Scheitelpunkten haben. Wenn wir beginnen, Diagonalen von einem der Scheitelpunkte zu zeichnen, können wir einen der verbleibenden (n-3) Scheitelpunkte auswählen, um ihn mit dem ursprünglichen Scheitelpunkt zu verbinden. Es stellt sich heraus, dass wir für jeden Scheitelpunkt eines konvexen Polygons (n-3) Diagonalen zeichnen können. Da es nur n Stützpunkte in einem Polygon gibt, ist die Gesamtzahl der Diagonalen, die aus einem der Stützpunkte gezogen werden können, (n-3) * (n-1).
Wie viele Diagonalen kann ich aus einem Eckpunkt eines konvexen Polygons ziehen?
Um diese Frage zu beantworten, müssen wir verstehen, was eine Diagonale ist und wie sie mit den Eckpunkten eines konvexen Polygons zusammenhängt.
Die Diagonale eines Polygons wird als eine Linie bezeichnet, die zwei seiner Eckpunkte verbindet, die nicht benachbart sind. Mit anderen Worten, Diagonalen sind Linien, die zwischen zwei beliebigen Scheitelpunkten liegen, mit Ausnahme derjenigen, die durch Segmente an den Seiten eines Polygons verbunden sind.
Um die Anzahl der Diagonalen zu finden, die aus einem Eckpunkt gezogen werden können, müssen wir Folgendes berücksichtigen: von dem ausgewählten Scheitelpunkt aus können wir eine Diagonale zu jedem anderen Scheitelpunkt ziehen, ohne die Scheitelpunkte der Nachbarn zu zählen. Insgesamt haben wir einen N-1-Scheitelpunkt, vorausgesetzt, das Polygon besteht aus N Scheitelpunkten.
Daher ist die Anzahl der Diagonalen, die von einem Eckpunkt eines konvexen Polygons gezogen werden können, N-1.
Wenn beispielsweise ein Polygon aus 6 Stützpunkten besteht, beträgt die Anzahl der Diagonalen, die aus 1 Stützpunkt gezogen werden können, 6-1=5.
Wenn das Polygon aus 8 Stützpunkten besteht, beträgt die Anzahl der Diagonalen, die aus 1 Stützpunkt gezogen werden können, 8-1 = 7.
Der erste Weg
Die erste Methode zum Zeichnen einer diagonalen Linie von einem Eckpunkt eines konvexen Polygons besteht in den folgenden Schritten:
- Wählen Sie einen Stützpunkt des Polygons aus, nennen wir ihn den Stützpunkt A.
- Ziehen Sie eine Linie von Scheitelpunkt A zu jedem anderen Scheitelpunkt außer den benachbarten Scheitelpunkten.
- Die resultierenden Linien werden als Diagonalen eines Polygons bezeichnet.
Die Anzahl der Diagonalen, die von einem Eckpunkt eines Polygons gezogen werden können, entspricht also der Anzahl der anderen Eckpunkte mit Ausnahme der benachbarten Eckpunkte.
Beispiel: Wenn ein Polygon 8 Scheitelpunkte hat, können Sie aus jedem Scheitelpunkt 5 Diagonalen ziehen.
Der zweite Weg
Zuerst erstellen wir eine Tabelle mit zwei Spalten. In der linken Spalte geben wir die Anzahl der Scheitelpunkte an, von denen wir die Diagonalen zeichnen, und in der rechten Spalte geben wir die Anzahl der möglichen Scheitelpunkte an, die von jedem Scheitelpunkt gezogen werden können.
| Eckpunktnummer | Anzahl der Diagonalen |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 3 | 2 |
| 4 | 3 |
| 5 | 4 |
| 6 | 5 |
Wie Sie aus der Tabelle sehen können, ist die Anzahl der Diagonalen, die von einem Scheitelpunkt gezogen werden können, gleich seiner Nummer minus 1. Zum Beispiel können Sie 2 Diagonalen aus dem Scheitelpunkt Nummer 3 ziehen, 5 Diagonalen aus dem Scheitelpunkt Nummer 6 ziehen.
Die zweite Methode ermöglicht es Ihnen, die Anzahl der Diagonalen, die von jedem Scheitelpunkt eines konvexen Polygons gezogen werden, einfach und visuell zu bestimmen.
Der dritte Weg
Mit der dritten Methode können Sie Diagonalen von jedem Scheitelpunkt eines konvexen Polygons zu jedem Scheitelpunkt ziehen, mit Ausnahme der benachbarten Scheitelpunkte. Dazu ist es notwendig:
- Wählen Sie einen der Eckpunkte des Polygons aus.
- Führen Sie diagonal von diesem Gipfel zu allen anderen Scheitelpunkten außer den benachbarten Scheitelpunkten.
- Wiederholen Sie die Schritte 1 und 2 für jeden Eckpunkt des Polygons.
Wenn wir also einen Scheitelpunkt A auswählen, zeichnen wir diagonal von ihm zu den Scheitelpunkten B, C und D. Wählen Sie dann den Scheitelpunkt B aus und zeichnen Sie diagonal von ihm zu den Scheitelpunkten A, C und D. Wiederholen Sie diesen Vorgang für alle Scheitelpunkte des Polygons. Als Ergebnis erhalten wir alle möglichen Diagonalen.
Somit ermöglicht die dritte Methode, Diagonalen von einem Eckpunkt eines konvexen Polygons zu ziehen, ohne die Diagonalen, die zu benachbarten Eckpunkten führen.
Der vierte Weg
Der fünfte Weg
Der fünfte Weg ist wie folgt: zeichnen Sie eine Diagonale von der Spitze des Polygons nur zu den Scheitelpunkten, die 2 vom angegebenen Scheitelpunkt entfernt sind.
Dazu wählen Sie einen der Eckpunkte des Polygons aus, aus dem Sie die Diagonalen ziehen möchten. Dann befinden sich alle Scheitelpunkte des Polygons, die 2 vom ausgewählten Scheitelpunkt entfernt sind.
Als nächstes werden Diagonalen vom ausgewählten Scheitelpunkt zu jedem gefundenen Scheitelpunkt durchgeführt.
Somit ermöglicht die fünfte Methode, Diagonalen von einem Eckpunkt eines Polygons zu einem bestimmten Satz von Eckpunkten zu ziehen, die sich in einem Abstand von 2 von einem bestimmten Eckpunkt befinden.
