Die Geometrie ist eine der ältesten Wissenschaften und bleibt eine unerschöpfliche Quelle für überraschende Entdeckungen und unerwartete Verbindungen. Eine solche interessante Beziehung ist die Beziehung zwischen dem eingeschriebenen Winkel und dem zentralen Winkel, die in der Geometrie wichtig ist und uns die Möglichkeit gibt, ihre Summe zu berechnen.
Der eingeschriebene Winkel wird, wie der Name schon sagt, durch einen Kreisbogen gebildet, der innerhalb des Winkels liegt und seine Seiten berührt. Das Verhältnis des eingeschriebenen Winkels zur Länge des Bogens, auf dem er sich stützt, wird als zentraler Winkel bezeichnet. Es ist mit dem Buchstaben C gekennzeichnet und wird in Grad gemessen.
Es sollte beachtet werden, dass die Summe des eingegebenen Winkels und des zentralen Winkels 180 Grad beträgt. Diese Eigenschaft wurde als "Eingeschriebener Winkel und zugehöriger zentraler Winkel" bezeichnet. Interessanterweise ist diese Eigenschaft unabhängig von der Größe des Sektors, auf dem sich der eingeschriebene Winkel stützt, und wird an jedem Punkt des Kreises ausgeführt.
Summe des eingegebenen und zentralen Winkels in der Geometrie
Eingeschriebener Winkel - dies ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt auf dem Kreis liegt, und seine Seiten schneiden den Kreis an zwei Punkten. Der Bogen des Kreises, zwischen dem der eingeschriebene Winkel liegt, wird als Bogen des eingeschriebenen Winkels bezeichnet.
Mittelpunktswinkel ist der Winkel, dessen Scheitelpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist, und seine Seiten schneiden den Kreis an zwei Punkten. Der Kreisbogen, zwischen dem der Mittelwinkel liegt, wird als Mittelwinkel bezeichnet.
Die Summe des eingegebenen Winkels und des zentralen Winkels, der denselben Kreisbogen hat, beträgt immer 180 Grad. Diese Eigenschaft von geometrischen Winkeln ist eine Folge des Drei-Bogen-Theorems.
Das Theorem über drei Bögen besagt, dass, wenn drei Kreisbögen Winkel bilden, die Summe dieser Winkel 360 Grad beträgt. Wenn jedoch einer der Bögen ein Bogen des eingeschriebenen Winkels ist, entspricht der von zwei anderen Bögen auf dem Kreis gebildete Winkel der Hälfte des zentralen Winkels, der von denselben Bögen gebildet wird.
Daher kann für jeden Kreis die folgende Regel formuliert werden: die Summe des eingegebenen Winkels und des entsprechenden zentralen Winkels beträgt 180 Grad. Diese Regel kann verwendet werden, um Probleme beim Zeichnen und Berechnen von geometrischen Formen zu lösen.
Bestimmen des eingeschriebenen Winkels
Ein offener eingeschriebener Winkel ist ein Winkel, der innerhalb eines Kreises liegt, seine Seiten berühren den Kreis, schneiden ihn jedoch nicht. Der offene Winkel wird an einem Bogen gemessen, zwischen dessen Seiten er ruht. Wenn der Bogen beispielsweise 60 Grad beträgt, beträgt der offene eingeschriebene Winkel 60 Grad.
Ein vollständiger eingeschriebener Winkel ist der Winkel, der innerhalb eines Kreises liegt, seine Seiten kreuzen den Kreis und stützen sich auf den Durchmesser. Der volle eingeschriebene Winkel ist immer 180 Grad, da die volle Umdrehung 360 Grad beträgt und der volle Winkel die halbe Umdrehung einnimmt.
Die Summe des eingeschriebenen und zentralen Winkels, der durch zwei Akkorde gebildet wird, die durch denselben Punkt auf dem Kreis verlaufen, beträgt 360 Grad. Diese Eigenschaft ist eine Folge des zentralen Winkelsatzes, der besagt, dass der zentrale Winkel, der durch einen Bogen gebildet wird, gleich der Hälfte des im gleichen Bogen eingeschriebenen Winkels ist.
Mithilfe der Eigenschaften von eingeschriebenen und mittleren Winkeln können Sie verschiedene geometrische Probleme lösen, z. B. unbekannte Winkel, Bogenlängen oder Kreisbemaßungen finden. Wenn Sie diese Eigenschaften kennen, können Sie Aufgaben im Zusammenhang mit Kreisen und ihren Elementen leichter verstehen und lösen.
Definieren des zentralen Winkels
Die Hauptmerkmale des zentralen Winkels sind sein Maß und der Bogen, auf dem er ruht.
Das Maß für den zentralen Winkel wird in Grad, Minuten und Sekunden definiert. Es ist gleich der Länge des Bogens, auf dem der Winkel geteilt durch den Radius des Kreises ruht.
Der Bogen, auf dem sich der Mittelwinkel stützt, drückt die Länge des Teils des Kreises aus, der zwischen den Endpunkten des Winkels eingeschlossen ist.
Die Summe des eingegebenen Winkels und des zentralen Winkels, die beide bei einem Kreis auftreten, sind grundsätzlich gleich und entsprechen der Hälfte des Bogenmaßes.
Summe des eingegebenen und zentralen Winkels
Der Kern der Frage ist, wie viele Grad die Summe des eingeschriebenen und zentralen Winkels sind. Es stellt sich heraus, dass diese Summe immer 360 Grad beträgt. Dies kann wie folgt erklärt werden.
Der eingeschriebene Winkel ist gleich der Hälfte des Bogens des Kreises, der sich auf diesen Winkel stützt. Der Mittelwinkel ist gleich dem Bogen des Kreises, der sich auf diesen Winkel stützt. Somit ist die Summe des eingeschriebenen und zentralen Winkels gleich dem Bogen des Kreises, der sich auf den eingeschriebenen Winkel stützt.
Aus den Eigenschaften eines Kreises ist bekannt, dass die Summe aller Kreisbögen 360 Grad beträgt. Daher ist die Summe des eingegebenen und zentralen Winkels auch 360 Grad.
Diese Eigenschaft des eingeschriebenen und zentralen Winkels wird beim Lösen von Geometrieproblemen und beim Messen von Winkelgrößen auf einer Ebene verwendet.
Beispiel für die Verwendung einer Formel
Zur Verdeutlichung werden wir ein Beispiel für die Verwendung einer Formel zur Berechnung der Summe des eingegebenen und zentralen Winkels analysieren.
Lassen Sie uns einen Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius r haben. Stellen wir uns vor, dass es einen Punkt A auf dem Kreis gibt, von dem die beiden Akkorde AB und AC gezogen werden. Um die Summe des eingeschriebenen und zentralen Winkels zu berechnen, müssen wir die Akkord-Längen AB und AC kennen.
Nehmen wir an, die Sehnenlänge AB ist d1 und die Sehnenlänge AC ist d2. Die Summe des eingegebenen und zentralen Winkels (α + β) kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
α + β = (d1 / r + d2 / r) * 180°
Wenn beispielsweise die Sehnenlänge AB 8 cm beträgt und die Sehnenlänge AC 12 cm beträgt und der Radius des Kreises 5 cm beträgt, ist die Summe des eingegebenen und mittleren Winkels gleich:
α + β = (8 cm / 5 cm + 12 cm / 5 cm) * 180° = (1.6 + 2.4) * 180° = 4 * 180° = 720°
Somit ist die Summe des eingegebenen und zentralen Winkels in diesem Beispiel 720 °.
