In diesem Artikel betrachten wir schrittweise Anweisungen zum Ableiten einer rekurrenten Beziehung. Wir beginnen mit grundlegenden Konzepten und Definitionen und tauchen dann in Beispiele ein, um den Prozess zu veranschaulichen.
Das allgemeine Schema für die Lösung eines rekurrenten Verhältnisses
Um eine rekurrente Beziehung zu lösen, müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:
- Basisfall aufdecken: Finde einen Wert, der direkt ausgedrückt werden kann, ohne ein rekurrentes Verhältnis zu verwenden.
- Rekurrentes Verhältnis definieren: Drückt das aktuelle Mitglied der Sequenz durch die vorherigen Mitglieder aus.
- Rekurrentes Verhältnis lösen:
- Wenn das rekurrente Verhältnis linear ist, können Sie die Methode der charakteristischen Gleichung oder die Methode der genauen Betrachtung verwenden.
- Wenn das rekurrente Verhältnis nicht linear ist, können Sie versuchen, die Variablentrennungsmethode oder die Indexverschiebungsmethode zu verwenden.
- Berechnen Sie die Sequenzwerte mithilfe der gefundenen Lösung.
Betrachten Sie ein Beispiel für die Lösung eines rekurrenten Verhältnisses:
Задано рекуррентное соотношение:an = 2an-1 - 2an-2Базовый случай:a0 = 1, a1 = 2Решаем рекуррентное соотношение:Характеристическое уравнение: r2 - 2r + 2 = 0Корни характеристического уравнения: r1 = 1 + i, r2 = 1 - iОбщее решение рекуррентного соотношения:an = C1(1 + i)n + C2(1 - i)nНаходим константы, используя начальные условия:C1 = (a0 - C2) / (1 + i)0 = 1 - C2C2(1 - i) = a1 - C1(1 + i) = 2 - (1 - C2)(1 + i)C2 - C2i = 2 - (1 - C2)(1 + i)Разбираем выражение и находим значение C2:C2i = -i2 - (1 - C2)(1 + i) = 2 - (1 - C2 - i + iC2) = 1 + C2 - i(2 - C2)C2(1 + i) = 1 + C2 - i(2 - C2)C2 + C2i + C2i^2 = 1 + C2 - 2i + iC2C2 - i^2C2 = 1 - 2i + iC2C2 + C2 = 1 - 2i + iC22C2 = 1 - 2i + iC22C2 - iC2 = 1 - 2iC2(2 - i) = 1 - 2iC2 = (1 - 2i) / (2 - i)Подставляем найденные значения в общее решение:an = (1 - C2)(1 + i)n + C2(1 - i)n
Zersetzung der darin enthaltenen Bestandteile
Bei der Lösung rekurrenter Verhältnisse ist es oft erforderlich, jedes in einem Verhältnis enthaltene Element zu zerlegen. Dadurch wird das Verhältnis vereinfacht und eine einfachere Formel gefunden, um den gewünschten Wert zu finden.
Um das Additiv zu zerlegen, müssen Sie einer bestimmten Abfolge von Aktionen folgen:
- Zerlegen Sie das ursprüngliche Aggregat in mehrere kleinere Aggregate.
- Wenn in der Zersetzung Formulare vorhanden sind, die ebenfalls Teil des ursprünglichen Formulars sind, zerlegen Sie sie wiederum.
- Setze die Zersetzung fort, bis du einen Basisfall erreicht hast, der aus einfachen Bestandteilen besteht.
Das Ergebnis der Zusammenlegung von Additionen ist eine Tabelle, in der alle Additionen des ursprünglichen rekurrenten Verhältnisses dargestellt werden. Diese Tabelle kann verwendet werden, um die Berechnung des Wertes eines rekurrenten Verhältnisses zu erleichtern.
| Summand | Zersetzung |
|---|---|
| an-1 | an-2 + an-3 + . + a1 + a0 |
| an-2 | an-3 + an-4 + . + a1 + a0 |
| . | . |
| a1 | a0 |
Als Ergebnis der Zersetzung erhalten wir einfache Bestandteile, die ausgewertet und kombiniert werden können, um den gewünschten Wert des rekurrenten Verhältnisses zu finden.
Eine gemeinsame Formel finden
Um eine allgemeine Formel zu finden, sollten Sie die bereits berechneten Sequenzwerte berücksichtigen und ein Muster zwischen ihnen finden. Dies kann normalerweise durch Analysieren der Unterschiede zwischen den Elementen der Sequenz erfolgen. Wenn die Differenzen zwischen den Elementen eine arithmetische oder geometrische Progression bilden, können wir davon ausgehen, dass die Sequenz selbst ein entsprechendes Muster aufweist.
Ein anderer Ansatz zur Suche nach einer gemeinsamen Formel besteht darin, eine charakteristische Gleichung für ein rekurrentes Verhältnis anzuwenden. Diese Gleichung ermöglicht es Ihnen, die Wurzeln zu finden, die dann verwendet werden, um die allgemeine Formel zu finden. Diese Methode ist jedoch komplizierter und erfordert Kenntnisse des mathematischen Apparats.
Nachdem Sie eine allgemeine Formel gefunden haben, können Sie den Wert eines Sequenzelements anhand seiner Nummer anhand der gefundenen Formel anhand der Aufgabenbedingungen berechnen. Dieser Ansatz vereinfacht die Lösung eines rekurrenten Verhältnisses und spart Zeit und Ressourcen für Berechnungen.
| Artikelnummer | Element-Wert |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 5 |
Für die in der obigen Tabelle dargestellte Sequenz können Sie beispielsweise feststellen, dass die Unterschiede zwischen den Elementen eine Fibonacci-Sequenz bilden. Daher können wir davon ausgehen, dass sich die Sequenz selbst in Fibonacci-Zahlen befindet. Die Überprüfung dieser Annahme zeigt, dass dies tatsächlich der Fall ist, und die allgemeine Formel für eine gegebene Sequenz wäre F(n) = F(n-1) + F(n-2).
Das Finden einer allgemeinen Formel für ein rekurrentes Verhältnis vereinfacht daher die Problemlösung und spart Zeit für Recherchen und Berechnungen.
Beispiele für die Lösung rekurrenter Verhältnisse
Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Lösung rekurrenter Verhältnisse:
1. Das einfachste Beispiel. Das rekurrente Verhältnis ist F(n) = F(n-1) + F(n-2), wobei F(0) = 0 und F(1) = 1 ist. Sie können eine dynamische Programmiermethode verwenden, um dieses Verhältnis zu lösen:
F(0) = 0F(1) = 1for i from 2 to n:F(i) = F(i-1) + F(i-2)2. Die Aufgabe besteht darin, den Zaun zu bemalen. Das rekurrente Verhältnis ist C(n) = C(n-1) + C(n-2), wobei C(0) = 1 und C(1) = 2. Hier ist C(n) die Anzahl der Möglichkeiten, einen Zaun mit der Länge n zu färben:
C(0) = 1C(1) = 2for i from 2 to n:C(i) = C(i-1) + C(i-2)3. Fibonacci-Zahlen. Das rekurrente Verhältnis ist F(n) = F(n-1) + F(n-2), wobei F(0) = 0 und F(1) = 1 ist. Dies ist eines der bekannten rekurrenten Verhältnisse, das die Folge von Fibonacci-Zahlen definiert:
F(0) = 0F(1) = 1for i from 2 to n:F(i) = F(i-1) + F(i-2)Dies sind nur einige Beispiele für die Lösung rekurrenter Verhältnisse. Die Kenntnis der Algorithmen und Methoden der dynamischen Programmierung ermöglicht es, viele Aufgaben basierend auf rekurrenten Verhältnissen effizient zu lösen.
