Die Münze ist ein universelles Symbol für Glück und glücklichen Anlass. Manchmal werfen wir eine Münze, um eine Wahl zu treffen, einen Streit zu lösen oder einfach nur ein Gefühl der Aufregung zu genießen. Aber was ist, wenn wir uns fragen, wie viele mögliche Ergebnisse wirft, um eine Münze zu werfen?
Stellen wir uns die Situation vor: wir haben 10 gleiche Münzen, und wir möchten herausfinden, wie viele Ausfallvarianten es gibt, bei denen mindestens 3 Gitter vorhanden sind. Um dieses Problem zu lösen, benötigen wir Kombinatorik - die Wissenschaft des Studiums von kombinatorischen Aufgaben, die verschiedene Kombinationen und Permutationen von Elementen behandeln.
Auf den ersten Blick mag es scheinen, dass wir eine große Anzahl von Optionen durchlaufen müssen, aber es gibt einen einfacheren Weg, um dieses Problem zu lösen. Wir können die Binomialverteilungsformel verwenden, mit der Sie die Anzahl der Kombinationen berechnen können.
Wege zum Herausfallen von Gittern
Jedes Mal, wenn eine Münze geworfen wird, gibt es zwei mögliche Ergebnisse: das Fallen einer Zahl (P) oder das Fallen eines Adlers (O). Daher ist die Gesamtzahl der möglichen Kombinationen 2 im Grad von 10, da es 10 unabhängige Münzwürfe gibt.
Um die Anzahl der Methoden zu bestimmen, bei denen ein Gitter mindestens 3 Mal fällt, müssen Sie alle möglichen Kombinationen berücksichtigen und nur diejenigen auswählen, bei denen das Gitter dreimal oder mehr fällt.
Sie können die Formel für Binomialkoeffizienten verwenden, um die Aufgabe zu vereinfachen. Die Anzahl der Möglichkeiten, k Objekte aus n Objekten auszuwählen, wird durch die folgende Formel bestimmt:
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
In unserem Fall n = 10 (die Anzahl der Münzwürfe), k = 3 (die minimale Anzahl der Gitterausfälle), daher ist es notwendig, C (10, 3) zu berechnen.
Somit ist die Anzahl der Möglichkeiten, wie die Gitter mindestens 3 Mal bei 10 Münzwürfen fallen, gleich:
C(10, 3) + C(10, 4) + C(10, 5) + . + C(10, 10)
Wie kann ich die Wahrscheinlichkeit ermitteln, dass beim Werfen einer Münze eine bestimmte Anzahl von Gittern fällt?
Wenn wir zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit ermitteln möchten, dass bei 10 Münzwürfen mindestens drei Gitter fallen, können wir die Bernoulli-Formel verwenden.
Die Bernoulli-Formel ermöglicht es Ihnen, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A in n unabhängigen Tests zu bestimmen, vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es in jedem Test auftritt, p beträgt.
Verwenden Sie die Bernoulli-Formel wie folgt, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass beim Werfen einer Münze eine bestimmte Anzahl von Gittern fällt:
- Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zahl (p) fällt.
- Geben Sie die Anzahl der Tests an (n).
- Bestimmen wir die Anzahl der erfolgreichen Ergebnisse (k), dh die Anzahl der Gitter, die wir erhalten möchten.
- Berechnen wir die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A anhand der Formel: P(A) = C(n, k) * pow(p, k) * pow(1-p, n-k) .
- C(n, k) bezeichnet die Anzahl der Kombinationen von n bis k und wird mit der Formel berechnet: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!) .
- pow(p, k) bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl in die Potenz k fällt, erhöht wird.
- pow(1-p, n-k) bezeichnet die Erhöhung von 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl in die Potenz von n minus k fällt.
Mit dieser Formel können wir die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass bei 10 Münzwürfen mindestens 3 Gitter fallen. Dazu müssen Sie die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass 3 Gitter, 4 Gitter, 5 Gitter usw. auf 10 Gitter fallen, und dann diese Wahrscheinlichkeiten addieren, da die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen A, B, C und so weiter inkompatibel ist (das heißt, Ereignis A und Ereignis B können gleichzeitig auftreten).
Die Kombinatorik ermöglicht es uns daher, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass beim Werfen einer Münze eine bestimmte Anzahl von Gittern fällt, was für die Analyse und Vorhersage verschiedener zufälliger Ereignisse nützlich sein kann.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 Münzwürfen mindestens 3 Gitter fallen?
Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass mindestens 3 Gitter bei 10 Münzwürfen fallen, müssen Sie zunächst die Anzahl der möglichen Kombinationen bestimmen, bei denen sie fallen 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 oder 10 Gitter aus 10 Würfen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl oder ein Adler bei einer einzelnen Münze fallen, beträgt 0,5. Somit ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Gitter fallen, gleich (0,5) ^ 3, die Wahrscheinlichkeit, dass 4 Gitter fallen, ist (0,5) ^ 4 usw.
Als nächstes müssen Sie alle Ausfallwahrscheinlichkeiten von 3 bis 10 Gitter unter Berücksichtigung der Kombinationen addieren. Um dies zu tun, können Sie die Bernoulli-Formel verwenden:
P(k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
wobei P (k) die Wahrscheinlichkeit ist, dass k Gitter fallen, C (n, k) die Anzahl der Kombinationen von n Elementen nach k ist, p ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zahl fällt, q ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Adler fällt.
Nachdem wir alle Wahrscheinlichkeiten addiert haben, erhalten wir die Antwort: 0.171875
