Stellen Sie sich ein kariertes Rechteck mit den Maßen 199 mal 991 vor. Wie viele Zellen kreuzen seine Diagonale?
Um dieses Problem zu lösen, lassen Sie uns zuerst herausfinden, welche Zellen in diesem Rechteck überhaupt vorhanden sind. Jede Zelle hat bestimmte Koordinaten: die Zeilennummer und die Spaltennummer. In diesem Fall haben wir 199 Zeilen und 991 Spalten.
Wie kann man also feststellen, wie viele Zellen eine Diagonale kreuzen? Eine Diagonale ist eine Linie, die die beiden gegenüberliegenden Eckpunkte eines Rechtecks verbindet. In diesem Fall verläuft die Diagonale von der oberen linken Ecke zur unteren rechten Ecke.
Diagonal in einem karierten Rechteck
Die Anzahl der Zellen, die in einem solchen Rechteck eine Diagonale kreuzen, kann mit einem einfachen mathematischen Algorithmus berechnet werden. Bezeichnen wir die Länge des Rechtecks als a und die Breite als b. Dann ist die Anzahl der Zellen, die durch die Diagonale geschnitten werden, gleich der Summe von a und b minus ihrem größten gemeinsamen Teiler: a + b - KNOTEN (a, b).
Für unser Rechteck mit den Maßen von 199 mal 991 Käfigen finden wir seine Diagonale:
| Länge des Rechtecks (a) | Breite des Rechtecks (b) | Größter gemeinsamer Teiler (KNOTEN(a, b)) | Anzahl der Zellen pro Diagonale |
|---|---|---|---|
| 199 | 991 | 1 | 1189 |
Somit schneidet die Diagonale in einem Rechteck mit der Größe 199 x 991 Zellen 1189 Zellen.
Mit dieser Formel können Sie die Anzahl der Zellen bestimmen, die in einem beliebigen karierten Rechteck diagonal gekreuzt werden.
Zellen und Diagonalen
Um die Anzahl der Zellen zu berechnen, die eine Diagonale in einem zellulären Rechteck mit den Abmessungen 199 x 991 kreuzt, müssen Sie die Struktur dieses Rechtecks berücksichtigen.
Dieses rechteckige Raster besteht aus 199 Zeilen und 991 Spalten. Jede Zelle ist der Schnittpunkt einer Zeile und einer Spalte.
Die Diagonale des karierten Rechtecks verläuft von der oberen linken Ecke bis zur unteren rechten Ecke. Es schneidet einige der Zellen dieses Rechtecks.
Sie können die Formel verwenden, um die Anzahl der Zellen zu bestimmen, die durch die Diagonale gekreuzt werden. Es gibt zwei Hauptfälle:
- Wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten des Rechtecks unterschiedlich ist, ist die Anzahl der Schnittpunkte gleich dem größten gemeinsamen Teiler (Knoten) der Zeilen- und Spaltenzahlen plus eins, dh KNOTEN (199, 991) + 1.
- Wenn die Anzahl der Zeilen und Spalten des Rechtecks gleich ist, ist die Anzahl der Schnittpunkte gleich der Anzahl der Zeilen (oder Spalten), dh 199.
Wenn wir die Werte in die Formel einfügen, erhalten wir das Ergebnis - die Anzahl der Zellen, die durch die Diagonale dieses zellulären Rechtecks gekreuzt werden.
Somit schneidet die Diagonale die Gesamtzahl der Zellen, die dem Knoten(199, 991) + 1 oder 199 entspricht, abhängig von der Größe des Rechtecks.
Anzahl der Zellen pro Diagonale
Um die Anzahl der Zellen zu bestimmen, die eine Diagonale in einem zellulären Rechteck mit den Abmessungen 199 x 991 kreuzt, müssen wir die Merkmale seiner Struktur berücksichtigen. Ein solches Rechteck besteht aus Zeilen und Spalten von Zellen.
Zunächst bestimmen wir die Gesamtzahl der Zellen im Rechteck. Anhand der Flächenformel können wir herausfinden, dass dies das Produkt der Anzahl der Zeilen pro Anzahl der Spalten sein wird, dh 199 x 991 = 197,209 Zellen.
Die vertikalen und horizontalen Diagonalen kreuzen die Zellen nicht und gehen durch ihre Ecken. Um die Anzahl der Zellen auf der Diagonale zu finden, müssen wir also bestimmen, wie viele diagonale Linien durch jede Zelle des Gitters verlaufen.
Betrachten Sie dazu die Spalten und Zeilen, durch die die Diagonale verläuft.
Wenn wir alle Zellen von links nach rechts auf einer Diagonalen betrachten, gehen wir durch die kürzeste Fläche eines Rechtecks mit den Abmessungen 199 x 991, also 199 Zellen vertikal.
Wenn wir alle Zellen von oben nach unten betrachten, die diagonal verlaufen, wird unsere Diagonale die 991-Zelle horizontal kreuzen.
Auf diese Weise wird sich die Diagonale kreuzen 199 + 991 + 1 = 1191 Zelle.
Die Formel zur Berechnung der Anzahl der zu schneidenden Zellen
Um dieses Problem zu lösen, können wir die folgende Formel verwenden, um die Anzahl der Zellen zu berechnen, die eine Diagonale in einem karierten Rechteck kreuzen:
Sei P und Q die Größe des Rechtecks (wobei P die Anzahl der Zeilen ist, Q die Anzahl der Spalten ist). Dann ist die Gesamtzahl der N-Zellen gleich P*Q.
Für die Berechnung der Anzahl der gekreuzten Zellen können wir auch die folgende Formel verwenden:
- Wenn P < Q ist, ist die Anzahl der gekreuzten Zellen gleich P - 1 (weil die Diagonale die horizontale Linie von P - 1 schneidet)
- Wenn P > Q ist, ist die Anzahl der zu schneidenden Zellen Q - 1 (weil die Diagonale die vertikale Linie Q - 1 schneidet)
- Wenn P = Q ist, ist die Anzahl der zu schneidenden Zellen gleich P - 1 (weil die Diagonale die horizontale und die vertikale Linie P - 1 schneidet)
In unserem speziellen Problem sind die Rechteckgrößen P = 199 und Q = 991. Da Q > P ist, können wir die Formel Q - 1 verwenden, um die Anzahl der zu kreuzenden Zellen zu berechnen. Somit beträgt die Anzahl der zu kreuzenden Zellen 990.
Berechnungsbeispiel
Um die Anzahl der Zellen zu bestimmen, die eine Diagonale in einem 199x991 karierten Rechteck kreuzen, können Sie einen geometrischen Ansatz verwenden.
In diesem Rechteck ist die Diagonale die Hypotenuse eines Dreiecks mit Seiten, die seinen Seiten entsprechen. Somit besteht die Diagonale aus 2 gleichen Segmenten, die an den Seiten des Rechtecks verlaufen.
Der erste Abschnitt verläuft durch 199 Zellen vertikal und 199 Zellen horizontal. Insgesamt kreuzt er 199 + 199 - 1 = 397 Zellen.
Der zweite Abschnitt verläuft auch durch 199 Zellen vertikal und 199 Zellen horizontal, beginnend an dem Punkt, an dem der erste Abschnitt endet. Auf diese Weise kreuzt es auch 397 Zellen.
Somit beträgt die Gesamtzahl der Zellen, die in einem gegebenen Rechteck durch eine Diagonale gekreuzt werden, 397 + 397 = 794.
