Gerade Zahlen sind Zahlen, die ohne Rest durch 2 geteilt werden. Im Dezimalsystem enden alle geraden Zahlen mit 0, 2, 4, 6 oder 8. Wir sind daran interessiert, wie viele 3-stellige Zahlen nur mit diesen geraden Zahlen gebildet werden können.
Sie können das Multiplikationsprinzip verwenden, um dieses Problem zu lösen. Wir haben 5 Optionen für jede Position in der Nummer. Daher entspricht die Gesamtzahl der dreistelligen Zahlen, die aus geraden Ziffern bestehen können, dem Produkt der Anzahl der Varianten für jede Position:
5 * 5 * 5 = 125
So können aus geraden Ziffern 125 verschiedene 3-stellige Zahlen gebildet werden.
Anzahl der 3-stelligen Zahlen aus geraden Ziffern
Wie Sie wissen, sind gerade Zahlen ohne Rest in zwei geteilt. Um dreistellige Zahlen ausschließlich mit geraden Zahlen zu erstellen, müssen einige wichtige Regeln beachtet werden:
- Die erste Ziffer darf nicht Null sein: null ist eine ungerade Zahl und kann nicht als erste Ziffer einer 3-stelligen Zahl verwendet werden.
- Die letzte Ziffer muss unbedingt gerade sein: nur gerade Zahlen können ohne Rest durch zwei geteilt werden, daher muss die letzte Ziffer einer 3-stelligen Zahl auch gerade sein.
- Unterschiedliche Zahlen: alle Ziffern in einer 3-stelligen Zahl, die aus geraden Ziffern besteht, müssen sich voneinander unterscheiden. Sie können dieselbe Ziffer nicht mehrmals verwenden.
Angesichts dieser Regeln können wir daher die Anzahl der 3-stelligen Zahlen bestimmen, die aus geraden Ziffern bestehen können. Die erste Ziffer kann eine beliebige gerade Zahl außer Null sein, und Sie können an jeder der drei Positionen in der Zahl eine beliebige gerade Ziffer setzen, mit Ausnahme der bereits verwendeten. So haben wir:
Anzahl der Optionen für die erste Ziffer: 4 (2, 4, 6, 8)
Anzahl der Optionen für die zweite Ziffer: 3 (es bleiben 3 gerade Ziffern übrig)
Anzahl der Optionen für die dritte Ziffer: 2 (es bleiben 2 gerade Ziffern übrig)
Insgesamt ist die Gesamtzahl der dreistelligen Zahlen, die aus geraden Ziffern bestehen können, gleich:
(4 x 3 x 2) = 24 Optionen
Es ist also möglich, 24 verschiedene 3-stellige Zahlen zu bilden, wobei nur gerade Ziffern verwendet werden.
Zahlen, die nur aus geraden Ziffern bestehen
3-stellige Zahlen, die nur aus geraden Ziffern bestehen, können durch Permutation der Ziffern 2, 4, 6 und 8 erhalten werden. An der ersten Position kann es nur 2, 4, 6 oder 8 geben, an der zweiten und dritten Position kann es eine dieser geraden Ziffern geben. Insgesamt gibt es für jede Position 4 Möglichkeiten, eine gerade Ziffer auszuwählen. Daher ist die Gesamtzahl der dreistelligen Zahlen, die nur aus geraden Ziffern bestehen, gleich 4 * 4 * 4 = 64.
Beispiele für solche dreistelligen Zahlen sind 222, 246, 864 usw.
Anzahl der dreistelligen Zahlen ohne sich wiederholende Ziffern
Die Erstellung von dreistelligen Zahlen aus geraden Ziffern ist eine ziemlich einfache Aufgabe, aber was ist, wenn Sie auch die Bedingung berücksichtigen müssen, dass sich die Zahlen in der Zahl nicht wiederholen sollten?
Betrachten wir zunächst alle möglichen Optionen für jede Position in der Zahl:
- Die Position der Einheiten beträgt 2, 4, 6, 8
- Zehnerposition – alle geraden Ziffern außer der bereits ausgewählten Einheitenposition
- Die Position von Hunderten ist alle geraden Ziffern, mit Ausnahme der bereits für die Position ausgewählten Einheiten und Zehner
Daher kann die Anzahl der dreistelligen Zahlen ohne doppelte Ziffern als Produkt der Anzahl der Varianten für jede Position berechnet werden:
4 (Position der Einheiten) * 4 (Position der Zehner) * 3 (Position der Hundert) = 48
Wir erhalten also, dass aus geraden Ziffern 48 verschiedene dreistellige Zahlen ohne doppelte Ziffern gebildet werden können.
Zahlen, in denen doppelte Zahlen vorhanden sind
Um zu verstehen, wie viele Zahlen am Ende doppelte Zahlen haben werden, betrachten Sie die folgenden Fälle:
Fall 1: Eine Zahl enthält zwei identische Ziffern und eine andere Ziffer.
121 - nummern 121, 112, 211
228 - zahlen 228, 282, 822
In diesem Fall können Sie für jede Position mit einer Zahl, die wiederholt werden kann, eine der vier geraden Ziffern auswählen. So erhalten wir 4 mögliche Ziffern für die erste Position und 1 mögliche Ziffer für die zweite Position. Die resultierende Formel zur Bestimmung der Anzahl der Zahlen lautet in diesem Fall 4 * 1 = 4.
Fall 2: Eine Zahl enthält zwei verschiedene Ziffern, aber beide wiederholen sich.
122 - nummern 122, 212, 221
224 - zahlen 224, 242, 422
In diesem Fall können Sie für jede Position mit einer Zahl, die wiederholt werden kann, eine der vier geraden Ziffern auswählen. So erhalten wir 4 mögliche Ziffern für die erste Position und 3 mögliche Ziffern für die zweite Position. Die resultierende Formel zur Bestimmung der Anzahl der Zahlen lautet in diesem Fall 4 * 3 = 12.
Es gibt insgesamt 2 Fälle, in denen Zahlen doppelte Zahlen enthalten können. Für jeden dieser Fälle ist die Formel zur Bestimmung der Anzahl der Zahlen unterschiedlich, aber in beiden Fällen ist die Anzahl der Zahlen gering. Die Suche nach Zahlen, in denen sich wiederholende Zahlen befinden, ist daher keine schwierige Aufgabe, insbesondere im Zusammenhang mit der Erstellung von 3-stelligen Zahlen aus geraden Ziffern.
Anzahl der Zahlen mit sich wiederholenden Zahlen
Wenn wir von dreistelligen Zahlen sprechen, die aus geraden Ziffern bestehen, stellt sich die Frage, wie viele von ihnen doppelte Ziffern haben können. Lass uns das herausfinden.
Insgesamt haben wir 5 gerade Ziffern: 0, 2, 4, 6 und 8. Um eine dreistellige Zahl zu erstellen, haben wir drei Positionen, an denen verschiedene Zahlen liegen können.
Betrachten wir mehrere Fälle:
| Zufall | Anzahl der Zahlen | Beispiele |
|---|---|---|
| Alle Zahlen sind unterschiedlich | 5 × 4 × 3 = 60 | 246, 802, 468 usw. |
| Zwei Ziffern sind gleich, eine ist anders | 5 × 4 = 20 | 444, 822, 644 usw. |
| Alle Zahlen sind gleich | 5 | 222, 666, 888 |
Aus geraden Ziffern können wir also 60 Zahlen mit unterschiedlichen Ziffern, 20 Zahlen mit zwei identischen Ziffern und eine Zahl mit drei identischen Ziffern bilden.
Insgesamt beträgt die Anzahl der dreistelligen Zahlen mit sich wiederholenden geraden Ziffern 60 + 20 + 1 = 81.
Mögliche Zahlenkombinationen ohne sich wiederholende Ziffern
Um zu verstehen, wie viele 3-stellige Zahlen aus geraden Ziffern ohne sich wiederholende Ziffern bestehen können, müssen Sie die Grundlagen der Kombinatorik verstehen.
In diesem Fall haben wir 5 gerade Ziffern: 0, 2, 4, 6 und 8. Wir müssen 3 Ziffern aus diesem Satz auswählen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen kann mithilfe der Kombinationsformel ermittelt werden:
C = n! / (k! * (n-k)!) wobei n die Gesamtzahl der Elemente ist, k die Anzahl der Elemente, die ausgewählt werden sollen.
Wenn wir diese Formel auf unsere Aufgabe anwenden, erhalten wir:
- C = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 5 * 4 * 3 / (3 * 2) = 10
Auf diese Weise können wir 10 verschiedene 3-stellige Zahlen aus geraden Ziffern ohne sich wiederholende Ziffern bilden.
Wir fassen alle Möglichkeiten zusammen
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um dreistellige Zahlen aus geraden Ziffern zu erstellen:
- Die Möglichkeit, eine Nummer an erster Stelle auszuwählen, besteht aus 4 Optionen (2, 4, 6, 8).
- Die Möglichkeit, eine Nummer für den zweiten Platz auszuwählen, besteht aus 5 Optionen (0, 2, 4, 6, 8).
- Die Möglichkeit, eine Nummer für den dritten Platz auszuwählen - 5 Optionen (0, 2, 4, 6, 8).
Daher entspricht die Gesamtzahl der dreistelligen Zahlen, die aus geraden Ziffern bestehen können, dem Produkt dieser Möglichkeiten:
Es gibt also 100 dreistellige Zahlen, die nur aus geraden Ziffern bestehen.
